Grassmann 流形的标准球丛

对于给定的 Hilbert 空间 $\mathcal H$，考虑自伴投影空间 $\mathcal P(\mathcal H)$。本文研究 $\mathcal P(\mathcal H)$ 上一个由 $$\mathcal R=\{\, (P,f)\in \mathcal P(\mathcal H)\times \mathcal H \, : \, Pf=f , \, \|f\|=1\, \}$$ 给出的标准球丛的可微结构。我们建立了 $\mathcal H$ 的酉算子群在 $\mathcal R$ 上的光滑作用，因此 $\mathcal R$ 是一个齐性空间。随后我们通过首先赋予其一致商度量（一种 Finsler 度量）来研究 $\mathcal R$ 的度量结构，并建立了测地线的极小性结果。这些测地线由某些单参数酉算子群通过酉群的自然作用推入 $\mathcal R$ 而给出。接着我们研究限制丛 $\mathcal R_2^+$，它只考虑限制 Grassmann 流形中的投影，后者由 Hilbert-Schmidt 算子局部建模。因此我们赋予 $\mathcal R_2^+$ 一个自然的黎曼度量，该度量可通过声明群的作用为黎曼浸没而得到。我们研究了该度量的 Levi-Civita 联络，并建立了 $\mathcal R_2^+$ 的 Hopf-Rinow 定理，再次获得测地线作为具有特殊速度的某些单参数群之像的刻画。