C*-代数的黎曼球

给定单一的 C$^*$-代数 $A$，$M_2(A)$中 $2\times 2$ 矩阵系数为 $A$ 的投影 $p_0=\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 的单位轨道在本文中称为 $A$ 的黎曼球 $R$。我们展示 $R$ 是单一性约化 C$^\infty$ 流形，其单位群 $U_2(A)\subset M_2(A)$，并携带从该结构中推导的微分几何（包括不变的 Finsler 度量）。我们特别关注测地线和指数映射的性质。如果代数 $A$ 在 Hilbert 空间 $H$ 中被表示，则依据 $R$ 的局部图，黎曼球的元素可被识别为（图形的）闭算子在 $H$ 上（有界或无界）。在本文的第一部分，我们发展了 $R$ 的几何方面的多个方面，包括指数映射的再约化联接与 Hilbert 空间子空间的交叉比之间的关系。在最后一节我们展示了 $R$ 的几何对 Hilbert 空间算子几何的某些应用。特别是，我们定义了无界算子的数据变形的概念并给出了一些相关示例。