Grassmann 流形的匹配投影与测地线

给定复 Hilbert 空间 ${\mathcal H}$ 中的幂等算子 $E$，可以为其关联两个正交投影：- 极分解 $2E-1=(2P-1)|2E-1|$ 提供了一个正交投影 $P$。$2E-1$ 分解中的酉部分具有此形式，即自伴酉算子，是 G. Corach、H. Porta 和 L. Recht 的一个显著观察（见下文参考文献）。- 在所有正交投影中，哪一个在范数意义下最接近 $E$ 的问题提供了另一个投影，即所谓的匹配投影 $m(E)$，它回答了这个问题。它由 X. Tian、Q. Xu 和 C. Fu 发现（见下文参考文献）。在本文中，我们证明这些投影是重合的。此外，我们证明存在 ${\mathcal H}$ 的 Grassmann 流形（${\mathcal H}$ 的闭子空间构成的流形）的唯一极小测地线，连接 $R(E)$ 和 $R(E^*)$。到该测地线中点的正交投影也与 $m(E)$ 重合。