关于 Calkin 代数中投影测地线的注记

令 ${\cal C}({\cal H})={\cal B}({\cal H}) / {\cal K}({\cal H})$ 为 Calkin 代数（${\cal B}({\cal H})$ 为 Hilbert 空间 ${\cal H}$ 上有界算子代数，${\cal K}({\cal H})$ 为紧算子理想，且 $\pi:{\cal B}({\cal H})\to {\cal C}({\cal H})$ 为商映射），${\cal P}_{{\cal C}({\cal H})}$ 为 ${\cal C}({\cal H})$ 中自伴投影的可微流形。Calkin 代数中的投影 $p$ 可提升为投影 $P\in{\cal B}({\cal H})$：$\pi(P)=p$。我们证明给定 $p,q \in {\cal P}_{{\cal C}({\cal H})}$，存在连接 $p$ 与 $q$ 的 ${\cal P}_{{\cal C}({\cal H})}$ 极小测地线，当且仅当存在提升投影 $P$ 与 $Q$ 使得 $N(P-Q\pm 1)$ 皆有限维或皆无限维。若 $p+q- 1$ 的零化子平凡，则该极小测地线唯一。此处测地线极小的断言意指其短于任意连接相同端点的分段光滑曲线 $\gamma(t) \in {\cal P}_{{\cal C}({\cal H})}$，$t \in I$，其中 $\gamma$ 的长度由 $\int_I \|\dot{\gamma}(t)\| d t$ 度量。