不确定性原理与无穷格拉斯曼流形的几何

我们研究投影对 $$P_If=\chi_If ,\ \ Q_Jf= \left(\chi_J \hat{f}\right)\check{\ } , \ \ f\in L^2(\mathbb{R}^n),$$ 其中 $I, J\subset \mathbb{R}^n$ 为有限勒贝格测度的集合，$\chi_I, \chi_J$ 表示相应的特征函数，$\hat{\ } , \check{\ }$ 表示傅里叶-普兰切雷尔变换 $L^2(\mathbb{R}^n)\to L^2(\mathbb{R}^n)$ 及其逆。这些投影对已被多位作者广泛研究，与海森堡不确定性原理的数学表述相关。我们的研究从微分几何的视角进行。我们应用关于希尔伯特空间 ${\cal H}$ 的格拉斯曼流形 ${\cal P}({\cal H})$ 的芬斯勒几何的已知结果，证明 ${\cal P}({\cal H})$ 存在唯一极小测地线，其形式为 $$\delta(t)=e^{itX_{I,J}}P_Ie^{-itX_{I,J}}$$ 连接 $P_I$ 与 $Q_J$ 且长度为 $\pi/2$。由此我们得到，若 $H$ 为傅里叶-普兰切雷尔映射的对数，则 $$\|[H,P_I]\|\ge \pi/2.$$ $X_{I,J}$ 的谱是可数的且关于原点对称，其最小正特征值 $\gamma(X_{I,J})$ 满足 $$\cos(\gamma(X_{I,J}))=\|P_IQ_J\|.$$