广义不确定性原理的量子理论

我们大幅扩展了先前关于广义不确定性原理(GUP)在3+1维中形式为 $[X_i,P_j] = i F_{ij}$ 其中 $F_{ij} = f(P^2) \delta_{ij} + g(P^2) P_i P_j$（对任意函数 $f$）的希尔伯特空间表示的工作。然而，我们将研究限制于 $X$ 对易的情形。我们特别关注理论的对称性，以及某些情况下出现的最小长度。我们首先证明，在代数层面上，只要对称性的推进部分被相应修改，在具有形变量子代数的GUP与二次哈密顿量，和标准海森堡算子代数与非二次哈密顿量之间，存在明确的映射。该理论也可映射到具有标准对称性的完全标准量子力学，但带有动量依赖的位置算子。接下来，我们研究这些代数等价模型的希尔伯特空间表示，并特别关注它们是否展现最小长度。我们对涉及的各种算子进行泛函分析，表明最小长度的出现关键取决于平移生成元与物理动量之间的关系。特别地，由于此关系由本文提出的代数映射保持，当标准GUP中存在最小长度时，在相应的非二次哈密顿量表述中也存在最小长度，尽管该模型具有完全标准的代数。一般而言，最小长度需要有界的平移生成元，即空间的一种特定量子化，而这取决于前面定义的函数 $f$ 的确切形式。该结果为哪些普适量子引力修正导致最小长度的出现提供了优雅且明确的分类。