冯·诺依曼代数中投影的测地线

设 ${\cal A}$ 为冯·诺依曼代数，${\cal P}_{\cal A}$ 为 ${\cal A}$ 中投影的流形。在 ${\cal P}_{\cal A}$ 上存在自然线性联络，在有限维情形与 $\mathbb{C}^n$ 的 Grassmann 流形的 Levi-Civita 联络一致。本文证明两个投影 $p,q$ 可由一条测地线连接且长度极小（关于由 ${\cal A}$ 的通常范数给出的度量）当且仅当 $$p\wedge q^\perp\sim p^\perp\wedge q,$$ 其中 $\sim$ 表示投影的 Murray-von Neumann 等价。并证明极小测地线唯一当且仅当 $p\wedge q^\perp= p^\perp\wedge q=0$。若 ${\cal A}$ 为有限因子，则 ${\cal P}_{\cal A}$ 的同一连通分支（即具有相同迹）中的任意一对投影均可由一条极小测地线连接。我们探讨了与 Jones 子因子指标理论的某些关系。例如，证明若 ${\cal N}\subset{\cal M}$ 为有限指标 $[{\cal M}:{\cal N}]=t^{-1}$ 的 ${\bf II}_1$ 因子，则由诱导投影 $e_{\cal N}$ 与 $e_{\cal M}$ 之间的测地距离满足 $d(e_{\cal N},e_{\cal M})=\arccos(t^{1/2})$。