Riemannian 流形上两点间测地线的长度
微分几何
2007-05-23 v2 度量几何
摘要
设 x 与 y 为维数 n 的闭 Riemannian 流形 M 上两个(不必相异)点。依据 J.P. Serre 的著名定理,x 与 y 之间存在无穷多条测地线。这些测地线中最短者的长度显然小于 M 的直径。但关于其他测地线的长度能说些什么?我们猜想对每个 k,存在 k 条 x 与 y 间的测地线,其长度不超过 kd,其中 d 表示 M 的直径。该猜想对 round sphere 显然成立,且对所有具有非平凡无挠基本群的闭 Riemannian 流形也不难证明。本文中我们宣布朝向该猜想的两个进一步结果。我们的第一个结果是 x 与 y 间第二最短测地线的长度不超过 2nd。第二个结果是若 n=2 且 M 与二维球面微分同胚,则对每个 k,M 上每两点可由 k 条长度不超过 的测地线连接。
关键词
引用
@article{arxiv.math/0512552,
title = {Lengths of geodesics between two points on a Riemannian manifold},
author = {Alexander Nabutovsky and Regina Rotman},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0512552},
year = {2007}
}
备注
New version; to appear in the ERA of the AMS