随机黎曼曲面上的闭测地线长度

短测地线在黎曼曲面的几何与谱的研究中十分重要。Bers 定理给出了前 $3g-3$ 条测地线长度的全局界。我们利用 Brooks 与 Makover 的随机黎曼曲面构造来研究随机黎曼曲面上短测地线($< \log (g)$)的分布。我们计算了最短测地线的期望值,并证明如果按长度对素不相交测地线排序 $\gamma_1\le \gamma_2\le ... \le \gamma_i ,...$,则对固定的 $k$,若令亏格趋于无穷,则 $\gamma_{k}$ 的长度与亏格无关。