黎曼$2$-球面上三条简单周期测地线的长度

设$M$为一个黎曼$2$-球面。Lyusternik 和 Shnirelman 的一个经典定理断言，$M$上存在三条不同的简单非平凡周期测地线。在本文中，我们证明存在三条简单周期测地线，其长度不超过$20d$，其中$d$是$M$的直径。我们还提出了一个仅依赖于面积和直径的上界，用于 Lyusternik-Shnirelman 定理经典证明中作为极小极大临界值出现的具有正指数的三条简单周期测地线的长度。最后，针对面积$A$远小于$d^2$的“细”球面，我们给出了这三条长度的更好界限；当${A\over d^2}\longrightarrow 0$时，前两条简单周期测地线长度的界限是渐近最优的。