闭黎曼流形上的宽短测地环

目前尚不清楚闭黎曼流形 $M^n$ 上最短周期测地线的长度是否能被 $c(n) vol^{ 1 \over n}$ 或 $\tilde{c}(n)d$ 所控制，其中 $n$ 为 $M^n$ 的维数，$vol$ 表示 $M^n$ 的体积，$d$ 表示其直径。本文中，我们将证明对于每一个 $\epsilon >0$，都可以找到此类关于测地环长度的估计，其角度在 $\pi-\epsilon$ 与 $\pi$ 之间，且带有一个同时依赖于 $n$ 和 $\epsilon$ 的显式常数。即，令 $\epsilon > 0$，并令 $a = \lceil{ {1 \over {\sin ({\epsilon \over 2})}}} \rceil+1$。我们将证明在 $M^n$ 上存在一个“宽”（即角度宽于 $\pi-\epsilon$）测地环，其长度至多为 $2n!a^nd$。我们还将证明存在一个“宽”测地环，其长度至多为 $2(n+1)!^2a^{(n+1)^3} FillRad \leq 2 \cdot n(n+1)!^2a^{(n+1)^3} vol^{1 \over n}$。此处 $FillRad$ 为 $M^n$ 的填充半径（Filling Radius）。