收缩黎曼2-圆盘的边界

设$D$是一个面积为$A$、直径为$d$、边界长度为$L$的黎曼2-圆盘。我们证明可以通过长度不超过$L + 200d\max\{1,\ln {\sqrt{A}\over d} \}$的曲线收缩$D$的边界。这回答了S. Frankel和M. Katz二十年前提出的一个问题，该问题的一个版本更早由M. Gromov提出。我们还证明，直径为$d$、面积为$A$的黎曼2-球面$M$可以被基于任意指定点$p\in M$、长度不超过$200 d\max\{1,\ln{\sqrt{A}\over d} \}$的环道扫过。该估计在常数因子意义下是最优的。此外，在$A<<d^2$的情况下，我们为这些问题提供了更好（且近乎最优）的估计。最后，我们描述了这些估计在“薄”黎曼2-球面上固定点对之间各种测地线长度研究中的应用。