宽度与平均曲率流

给定同伦 $n$-球面上的 Riemann 度量，用一个起始和终止于点曲线的连续单参数闭曲线族将其扫出。通过以连续方式将每条曲线尽可能拉紧同时保持扫出性质，使该扫出变紧。我们证明：在拉紧后的扫出中，长度接近扫出中最长曲线长度的每条曲线本身必然接近一条闭测地线。特别地，扫出中存在接近闭测地线的曲线。利用扫出寻找 2-球面上的闭测地线可追溯至 Birkhoff 1917 年的工作。作为一个应用，我们通过一个负常数从上方界定了按平均曲率流动的凸超曲面单参数族的宽度变化率。粗略地说，宽度（相差一个常数）是将 $M$“拉过”所需最短闭曲线长度的平方。该估计是尖锐的，并导出了对消亡时间的尖锐估计；参见 [CM1], [CM2]，其中展示了按 Ricci 流演化的同伦 3-球面的二维宽度变化率的类似界限（另见 Perelman）。