平均曲率流的等周性质

本文讨论了一个先前被忽略的简单关系，即高余维等周问题（寻找给定循环的小体积填充）与奇异高余维平均曲率流的灭绝估计之间的关系。首先通过两个结果例证了这一观点的实用性，一旦用这种关系来阐述，这些结果几乎是自明的。第一个是ℝⁿ中k-循环的等周不等式的一个真正的5行证明，其常数与最优常数仅相差√k倍，而所有其他软方法（如Michael-Simon或Gromov的方法）产生的因子为kᵏ。第二个是3行证明，给出了从循环开始的任意余维奇异平均曲率流灭绝的下界，推广了Giga和Yama-uchi一篇论文的主要结果。然后我们利用上述关系证明了一个关于从循环开始的高余维奇异平均曲率流时空轨迹的抛物型Hausdorff测度的界，该界用该循环的质量表示。这个界也让人想起Michael-Simon等周不等式。为了证明它，我们研究了抛物空间中欧几里得可修正集的几何测度论，并证明了该设定下的余面积公式。这个公式的证明占据了本文大部分篇幅，可能具有独立意义。