受限Schatten类Grassmannian $\mathrm{Gr}_{\mathrm{res}, p}(\mathcal{H})$ 作为仿射共轭轨道

本文我们考虑由无限维、无限次维的子空间 $W$ 组成的受限 $p$-Schatten 类Grassmannian $\mathrm {Gr}_{{\rm res}, p}(\mathcal{H})$，该子空间属于 polarized 复可分 Hilbert 空间 $\mathcal{H} = \mathcal{H}_+\oplus \mathcal{H}_-$，其中从 $W$ 到 $\mathcal{H}_+$ 的正交投影是Fredholm，$\mathcal{H}_-$ 的正交投影属于Schatten理想 $L_p$，$p\geq 1$。本文的目标是表明对于 $1\leq p\leq 2$，受限 $p$-Schatten 类Grassmannian $\mathrm {Gr}_{{\rm res}, p}(\mathcal{H})$ 是一个仿射(共)轭轨道 $\operatorname{U}_{{\rm res}, p}(\mathcal{H})$ 的无限维受限单位群，并且它 admits natural weak symplectic structures。这些结果源于 $\operatorname{U}_{{\rm res}, p}(\mathcal{H})$ 的受限 $p$-Schatten 类单位群的Lie代数 admits 一个非平凡的 $2$-cocycle。