度量空间上交换子的Schatten性质

我们在（拟）度量测度空间的一般框架下，刻画了奇异积分与点态乘子之交换子$[b,T]$的Schatten类$S^p$性质。这涵盖了不同特殊情况下的诸多先前结果，并对其进行统一与推广。如经典$\mathbb{R}^d$结果一样，该刻画包含三个部分：（1）当$p>d$时，$[b,T]\in S^p$当且仅当$b$属于合适的Besov（或分数阶Sobolev）空间。（2）当$p\leq d$时，$[b,T]\in S^p$当且仅当$b$为常数。（3）当$p=d$时，$[b,T]\in S^{d,\infty}$（弱型Schatten类）当且仅当$b$属于一阶Sobolev空间。结果（1）可推广至所有齐型空间，只要存在合适的奇异积分；但对于更为精细的性质（2）和（3），我们假设存在支撑合适Poincaré不等式的完备倍度量空间，这仍然非常一般。这些后者的结果依赖于作者与R. Korte合作论文中获得的关于此类空间上常数函数和Sobolev空间的新刻画。即使针对文献中考虑的各种具体区域进行特例化，当前结果也通过覆盖更大类别的算子（仅需最小核假设）、去除对点态乘子$b$的先验假设，以及允许在加权空间$L^2(w)$上定义具有任意Muckenhoupt权$w\in A_2$的Schatten类，从而扩展了已有结论。即使在$\mathbb{R}^d$上，此类加权结果此前也仅对少数特殊算子$T$已知，而在所有其他区域上则是全新的。