Sobolev 空间中流形间光滑映射弱稠密性的一个反例

本文给出了 Sobolev 空间 $W^{1, p} (M, N)$ 中两个流形 $M$ 和 $N$ 之间光滑映射的序列弱稠密性的一个反例，情形为 $p$ 是整数。已有结果表明，若 $p<\dim M$ 不是整数且 $N$ 的 $[p]$ 阶同伦群 $\pi_{[p]}(N)$ 非平凡（其中 $[p]$ 表示小于 $p$ 的最大整数），则对于强收敛而言，光滑映射在 $W^{1, p} (M, N)$ 中不是序列弱稠密的。另一方面，在 $p< \dim M$ 是整数的情形下，已提供了一些例子，其中光滑映射在 $\pi_{p}(N)\not = 0$ 时实际上在 $W^{1, p} (M, N)$ 中是序列弱稠密的。例如，当 $M= \mathbb B^m$ 为 $\mathbb R^m$ 中的标准球，$N=\mathbb S^p$ 为 $p$ 维标准球面时，有 $\pi_{p}(N) =\mathbb Z$。然而，本文的主要结果表明，对于任意流形 $N$ 和整数 $p$，此类性质并不成立。我们的反例针对 $p=3$，$\dim M\geq 4$ 且 $N=\mathbb S^2$ 的情形，其中同伦群 $\pi_3(\mathbb S^2)=\mathbb Z$ 与 Hopf 纤维化相关。