Sobolev映射到流形的弱逼近的解析障碍

对于任意整数$p \geq 2$，我们构造了一个紧致黎曼流形$\mathcal{N}$，使得如果$\dim \mathcal{M} > p$，则存在Sobolev空间$W^{1,p} (\mathcal{M}, \mathcal{N})$中的一个映射，由于解析障碍机制，它不是光滑映射到$\mathcal{N}$的弱极限。对于$p = 4n - 1$，目标流形可以取为球面$\mathbb{S}^{2n}$，这得益于通过Whitehead积构造具有非平凡Hopf不变量的映射，推广了Bethuel对于$p = 4n -1 = 3$的结果。这些结果可以推广到高阶Sobolev空间$W^{s,p}$，其中$s \in \mathbb{R}$，$s \geq 1$，$sp \in \mathbb{N}$，且$sp \ge 2$。