紧致覆盖空间中分数阶 Sobolev 映射的提升

设 $\pi : \widetilde{\mathcal{N}} \to \mathcal{N}$ 为一个黎曼覆盖,其中 $\mathcal{N}$、$\widetilde{\mathcal{N}}$ 为光滑紧致连通黎曼流形。若 $\mathcal{M}$ 是一个 $m$ 维紧致单连通黎曼流形,$0<s<1$ 且 $2 \le sp< m$,我们证明每个映射 $u \in W^{s, p} (\mathcal{M}, \mathcal{N})$ 在 $W^{s,p}$ 中都有提升,即存在某个映射 $\widetilde{u} \in W^{s, p} (\mathcal{M}, \widetilde{\mathcal{N}})$ 使得 $u = \pi \, \circ \, \widetilde{u}$。结合 Bourgain、Brezis 和 Mironescu 以及 Bethuel 和 Chiron 先前的工作,我们的结果\emph{彻底解决了}覆盖空间上 Sobolev 空间中的提升问题。证明依赖于对维数为 $1$ 时 $0<s<1$ 且 $sp>1$ 的 $W^{s,p}$ 映射振荡的先验估计。我们的论证还给出了当 $0<s<1$ 且 $1<sp<2\le m$ 时提升的存在性,前提是 $u$ 上无拓扑阻碍,即若 $u$ 属于 $C^\infty({\mathcal{M}}, \mathcal{N})$ 的强闭包,则在此范围内有 $u = \pi \, \circ \, \widetilde{u}$ 成立。然而,当 $0<s<1$、$sp = 1$ 且 $m\ge 2$ 时,我们表明即便没有拓扑阻碍,仍会出现(分析上的)阻碍。更具体地,我们构造了某个属于 $C^\infty({\mathcal{M}}, \mathcal{N})$ 强闭包的映射 $u\in W^{s,p}(\mathcal{M},\mathcal{N})$,使得对任意 $\widetilde{u} \in W^{s, p} ({\mathcal{M}}, \widetilde{\mathcal{N}} )$ 都不成立 $u = \pi \, \circ \, \widetilde{u}$。