从球面到紧致流形临界迹 Sobolev 映射的受控奇异延拓

给定 $n \in \mathbb{N}_*$、紧致 Riemann 流形 $M$ 与 Sobolev 映射 $u \in W^{n/(n + 1), n + 1} (\mathbb{S}^n; M)$，我们在 Sobolev-Marcinkiewicz（或 Lorentz-Sobolev）空间 $W^{1, (n + 1, \infty)} (\mathbb{B}^{n + 1}; M)$ 中构造一个映射 $U$，使得在 $\mathbb{S}^{n} = \partial \mathbb{B}^{n + 1}$ 上以迹的意义有 $u = U$，且其导数是受控的：对任意 $\lambda > 0$，$$\lambda^{n + 1} \big\vert\big\{ x \in \mathbb{B}^{n + 1} : \vert D U (x)\vert > \lambda\big\}\big\vert \le \gamma \Big(\int_{\mathbb{S}^n}\int_{\mathbb{S}^n} \frac{\vert u (y) - u (z)\vert^{n + 1}}{\vert y - z\vert^{2 n}} \,\mathrm{d} y \,\mathrm{d} z \Bigr)\ ,$$ 其中函数 $\gamma : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 仅依赖于维度 $n$ 与流形 $M$。映射 $U$ 的构造依赖于通过超调和延拓及在适当的球覆盖上的径向延拓进行的平滑过程。