受控同伦等价与流形的结构集

对于闭拓扑 $n$--流形 $K$ 和诱导同构 $\pi_1(K)\to\pi_1(B)$ 的映射 $p:K\to B$，存在一个规范定义的态射 $b:H_{n+1}(B,K,\mathbb{L})\to \mathbb{S} (K)$，其中 $\mathbb{L}$ 是周期单连通手术谱，$\mathbb{S} (K)$ 是拓扑结构集。我们在 $p$ 为 $UV^1$ 的情形下构造了一个 refinement $a:H_{n+1}^{+}(B,K,\mathbb{L} )\to \mathbb{S}_{\varepsilon ,\delta }(K)$，并证明若 $B$ 是有限维紧致度量 ANR，则 $a$ 是双射。此处，$H_{n+1}^{+}(B,K,\mathbb{L} )\subset H_{n+1}(B,K,\mathbb{L} )$，且 $\mathbb{S}_{\varepsilon ,\delta }(K)$ 是受控结构集。我们证明了 Pedersen-Quinn-Ranicki 受控手术序列等价于映射 $p:K \to B$ 的正合 $\mathbb{L}$-同调序列，即 $$H_{n+1}(B,\mathbb{L})\to H_{n+1}^{+}(B,K,\mathbb{L} )\to H_n(K,\mathbb{L}^{+})\to H_n(B,\mathbb{L} ), \ \mathbb{L}^{+}\to \mathbb{L},$$ 是 $\mathbb{L}$ 的连通覆盖谱。通过取 $B$ 为 $K$ 的 Postnikov 塔的不同阶段，可以获得受控结构集的一个有趣滤过。