高阶分数权重齐次空间：特征化与更精细的嵌入

本文中，对于 $N \geq 2, s \in (1,2), p\in (1, \frac{N}{s}), \sigma=s-1$ 以及 $a \in [0, \frac{N-sp}{2})$，我们建立了一个高阶分数权重贝佩-莱维空间\n \begin{align*}\n {\mathcal D}^{s,p}_a(\mathbb{R}^N) := \overline{\mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)}^{[\cdot]_{s,p,a}} \text{ 其中 } [u]_{s,p,a} := \left( \iint_{\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N} \frac{\left| \nabla u(x) -\nabla u(y) \right|^p}{\left|x-y \right|^{N+\sigma p}} \, \frac{\mathrm{d}x}{|x|^a} \frac{\mathrm{d}y}{|y|^a} \right)^{\frac{1}{p}}, \end{align*}\n 和高阶分数权重齐次空间\n \begin{align*}\n \mathring{W}^{s,p}_a(\mathbb{R}^N):= \left\{u \in L_a^{p^*_s}(\mathbb{R}^N): \| \nabla u \|_{L_a^{p^*_{\sigma}}(\mathbb{R}^N)} + [u]_{s,p,a} < \infty \right\}\end{align*}\n 之间的等距同构，以及加权 Lebesgue 范数\n \begin{align*}\n \| u \|_{L_a^{p^*_\alpha}(\mathbb{R}^N)}:= \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{ |u(x)|^{p^*_\alpha}}{|x|^{\frac{2ap^*_\alpha}{p}}} \, \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p^*_\alpha}}, \text{其中 } p^*_\alpha=\frac{Np}{N-\alpha p} \text{ 对 } \alpha= s,\sigma.\end{align*}\n 为此，我们证明了 $\mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ 在 $\mathring{W}^{s,p}_a(\mathbb{R}^N)$ 中以 $[\cdot]_{s,p,a}$ 为度量下稠密，且 $[\cdot]_{s,p,a}$ 是 $\mathring{W}^{s,p}_a(\mathbb{R}^N)$ 的等价范。进一步，我们得到 ${\mathcal D}^{s,p}_a(\mathbb{R}^N)$ 向 Lorentz 空间 $L^{\frac{Np}{N-sp-2a}, p}(\mathbb{R}^N)$ 的更细嵌入，其中 $L^{\frac{Np}{N-sp-2a}, p}(\mathbb{R}^N) \subsetneq L_a^{p^*_s}(\mathbb{R}^N)$。