加权分数阶 Bernstein 不等式及其应用

本文研究了球面 $\sph$ 上球面多项式的如下加权分数阶 Bernstein 不等式：\n\begin{equation}\label{4-1-TD-ab} \|(-\Delta_0)^{r/2} f\|_{p,w}\leq C_w n^{r} \|f\|_{p,w}, \ \ \forall f\in \Pi_n^d, \end{equation}\n其中 $\Pi_n^d$ 表示 $\sph$ 上次数不超过 $n$ 的所有球面多项式构成的空间，$(-\Delta_0)^{r/2}$ 是 $\sph$ 上的分数阶 Laplace-Beltrami 算子。本文引入了一类比 $A_p$ 条件更弱的新类加倍权重，并用于完全刻画那些使得加权 Bernstein 不等式 \eqref{4-1-TD-ab} 对某些 $1\leq p\leq \infty$ 及所有 $r>\tau$ 成立的 $\sph$ 上的加倍权重 $w$。在无权重情形下，证明了若 $0<p<\infty$ 且 $r>0$ 不是偶整数，则当且仅当 $r>(d-1)(\f 1p-1)$ 时，取 $w\equiv 1$ 的不等式 \eqref{4-1-TD-ab} 成立。作为应用，我们证明了任何 $f\in L_p(\sph)$ ($0<p<1$) 均可由 Fourier-Laplace 级数的 de la Vall\'ee Poussin 均值逼近，并针对一般加倍权重建立了加权 Besov 空间的 sharp Sobolev 型嵌入定理。