非齐次 $p$-Laplace 系统解的分数阶可微性

本文证明，若 $p \ge 3$ 且 $u \in W^{1,p}(\Omega,\mathbb{R}^N)$ 求解非齐次 $p$-Laplace 系统 $$\operatorname{div} (|\nabla u|^{p-2} \nabla u) = f, \qquad f \in W^{1,p'}(\Omega,\mathbb{R}^N),$$ 则在局部意义上，梯度 $\nabla u$ 属于分数阶 Nikol'skii 空间 $\mathcal{N}^{\theta,2/\theta}$，其中任意 $\theta \in [ \tfrac{2}{p}, \tfrac{2}{p-1} )$。据作者所知，即便对于 $p$-调和函数，该结果也是新的，略微改进了已知的 $\mathcal{N}^{2/p,p}$ 估计。本文所用的方法是 A. Cellina 在 $2 \le p < 3$ 情形下用于证明 $W^{1,2}$ 正则性之方法的推广。