具有临界Hardy非线性的分数$p-Laplace系统：存在性与多重性

设$\Omega\subset\mathbb{R}^d$为包含原点的有界开集，$s\in(0,1)$且$p\in(1,\infty)$。本文首先讨论以下类分数p-Laplace系统的存在性、非存在性及其基态解的性质：\n\n\begin{equation*}\n\left\{\begin{aligned}\n&(-\Delta_p)^s u= \frac{\alpha}{q} \frac{|u|^{\alpha-2}u|v|^{\beta}}{|x|^m} \ \text{在}\;\Omega,\\\n&(-\Delta_p)^s v= \frac{\beta}{q} \frac{|v|^{\beta-2}v|u|^{\alpha}}{|x|^m}\ \text{在}\;\Omega,\\\nu=v=0 \ \text{ 在 }\mathbb{R}^d\setminus\Omega, \end{aligned} \right\end{equation*}\n\n其中d>sp$，$\alpha + \beta = q$且$p \leq q \leq p_{s}^{*}(m)$，其中$p_{s}^{*}(m) = \frac{p(d-m)}{d-sp}$且$0 \leq m \le sp。此外，我们建立了一个与该齐次系统方程组相关的浓度紧凑性原理。接下来，本文的主要目标是研究以下非齐次系统方程组：\n\n\begin{equation*}\n\left\{\begin{aligned}\n&(-\Delta_p)^s u = \eta |u|^{r-2}u + \gamma \frac{\alpha}{p_{s}^{*}(m)} \frac{|u|^{\alpha-2}u|v|^{\beta}}{|x|^m} \ \text{在}\;\Omega,\\\n&(-\Delta_p)^s v = \eta |v|^{r-2}v + \gamma \frac{\beta}{p^{*}_{s}(m)} \frac{|v|^{\beta-2}v|u|^{\alpha}}{|x|^m}\ \text{在}\;\Omega,\\\nu=v=0 \ \text{ 在 }\mathbb{R}^d\setminus\Omega, \end{aligned} \right\end{equation*}\n\n其中\eta, \gamma > 0$为参数且$p \leq r < p_{s}^{*}(0)$。根据$\eta, \gamma$的值，我们获得了一个能量最低的非半平凡解的存在性。进一步地，对于$m=0$，我们证明上述问题至少有$\text{cat}_{\Omega}({\Omega})$个非平凡解。