加权 Sobolev 空间与双曲 Laplacian 方程 I

本文将考虑双曲空间 $\mathbb{B}^N$ 中的如下问题 \begin{equation*} -\Delta_{\mathbb{B}^N} u=f(x,u), \mathrm{in} \ \mathbb{B}^N.\eqno{(1)} \end{equation*} 其中，$\Delta_{\mathbb{B}^N}$ 表示 $\mathbb{B}^N$ 上的 Laplace-Beltrami 算子。且该问题可转化为如下欧氏问题 \begin{equation*} \begin{cases} -\operatorname{div}(K(x) \nabla u)=4 K(x)^{\frac{N}{N-2}}f(x,u), &\mathrm{in} \ \mathbb{B}^N, \\ u(0)=0, &\mathrm{on}\ \partial\mathbb{B}^N, \end{cases}\eqno{(2)} \end{equation*} 其中 $K(x):=1/\left(1-|x|^2\right)^{N-2}.$ 于是，问题 (1) 解的存在性可通过研究问题 (2) 解的存在性获得。我们将为问题 (2) 配备一个加权 Sobolev 空间，并证明该加权 Sobolev 空间的紧嵌入定理与集中紧性原理。且我们将证明最大值原理对算子 $-\operatorname{div}(K(x) \nabla u)$ 成立。当 $f(x,u)=|u|^{2^*-2} u+\lambda u^{q-2}u$，$\lambda>0$，$1<q<2^{\ast}$，利用变分方法、紧嵌入定理、集中紧性原理与最大值原理，将得到问题 (2) 的非径向解的存在性。