Poincaré 球上的 Hardy–Schrödinger 算子：紧性与多重性

设 $\Omega$ 为双曲空间 $\mathbb{B}^{n}$（$n \geq 3$）的 Poincaré 球模型中包含原点的紧光滑区域，令 $-\Delta_{\mathbb{B}^{n}}$ 为 $\mathbb{B}^{n}$ 上对应于度量 $g_{\mathbb{B}^{n}}= \frac{4}{(1-|x|^{2})^2}g_{_{\hbox{Eucl}}}$ 的 Laplace-Beltrami 算子。我们考虑边界 Dirichlet 问题 (E) 的变分解的不存在性、存在性与多重性问题，\begin{eqnarray*} (E)~ \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta_{\mathbb{B}^{n}}u-\gamma{V_2}u -\lambda u&=V_{2^\star(s)}|u|^{2^\star(s)-2}u &\hbox{ in }\Omega\\ \hfill u &=0 & \hbox{ on } \partial \Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray*} 其中 $0\leq \gamma \leq \frac{(n-2)^2}{4}$，$0< s <2$，${2^\star(s)}:=\frac{2(n-s)}{n-2}$ 为相应的临界 Sobolev 指数，$V_{2}$（相应地，$V_{2^\star(s)}$）为在双曲缩放下不变且在原点处形如 $\frac{1}{r^{2}}$（相应地，$\frac{1}{r^{s}}$）的 Hardy 型势（相应地，Hardy-Sobolev 权）。本文的主体是对 $(E)$ 的具有有界但任意高能量的近似解进行精细爆破分析。我们的分析得出：当 $n \geq 4$、$0 \leq \gamma \leq \frac{(n-2)^2}{4}-1$ 且 $\lambda > 0$ 时，$(E)$ 存在正基态解。后一结果对 $n\geq 3$ 且 $\gamma > \frac{(n-2)^2}{4}-1$ 也成立，只要该区域具有正的“双曲质量”。另一方面，相同分析表明若 $\gamma > \frac{(n-2)^2}{4}-1$ 且质量非零，则存在令人惊讶的稳定机制，使得不存在变分正解的情形得以保持。至于 $(E)$ 的高能量解，我们证明当 $n\geq 5$、$0\leq \gamma<\frac{(n-2)^2}{4}-4$ 且 $\lambda > \frac{n-2}{n-4} \left(\frac{n(n-4)}{4}-\gamma \right)$ 时，存在无穷多个这样的解。