商域上Hardy空间中的Toeplitz算子

设$\Omega$为$\mathbb C^d$中的单位多圆盘$\mathbb D^d$或单位球$\mathbb B_d$，$G$为作用于$\Omega$上的有限伪反射群。对应于$G$的每个一维表示$\varrho$，我们给出$\Omega/G$上（加权）Hardy空间$H^2_\varrho(\Omega/G)$的概念。随后，我们证明每个$H^2_\varrho(\Omega/G)$等距同构于$H^2(\Omega)$中与表示$\varrho$相关的相对不变子空间。当$\Omega=\mathbb D^d$，$G=\mathfrak{S}_d$（$d$个符号上的置换群）且$\varrho=$为$\mathfrak{S}_d$的符号表示时，Hardy空间$H^2_\varrho(\Omega/G)$与已知的对称为圆盘上Hardy空间的概念一致。我们大量运用群$G$的不变理论来建立涉及$H^2(\Omega)$与$H^2_\varrho(\Omega/G)$上Toeplitz算子的恒等式，从而得以研究$H^2_\varrho(\Omega/G)$上Toeplitz算子的代数性质（如广义零积问题、交换Toeplitz算子的刻画、紧性等）。