紧黎曼流形上的 Hardy-Sobolev 方程
微分几何
2016-03-02 v1
摘要
设 (M,g) 为维度 n > 2 的紧黎曼流形，x_0 ∈ M 为固定奇点，s ∈ (0,2)。令 2*(s) = 2(n-s)/(n-2) 为临界 Hardy-Sobolev 指数。我们研究临界方程 \Delta_g u + a(x) u = u^{2*(s)-1}/ d_g(x,x_0)^s 在 M 中正分布解 u ∈ C^0(M) 的存在性，其中 \Delta_g := - div_g(\nabla) 为 Laplace-Beltrami 算子，d_g 为 (M,g) 上的黎曼距离。通过 Aubin 精神下的极小化方法，我们证明了当势函数 a 在 x_0 处充分低于标量曲率时，在维度 n > 3 情况下解的存在性。在维度 n = 3 时，我们使用全局论证，并证明了当线性算子 \Delta_g + a 的质量在 x_0 处为正时解的存在性。作为我们分析的副产品，我们计算了相关黎曼 Hardy-Sobolev 不等式的最佳第一常数。
引用
@article{arxiv.1401.6133,
title = {Hardy-Sobolev Equations on Compact Riemannian Manifolds},
author = {Hassan Jaber},
journal= {arXiv preprint arXiv:1401.6133},
year = {2016}
}