黎曼流形上的 Hardy 与 Hardy-Sobolev 不等式

设 $(M,g)$ 为维数 $N \geq 3$ 的光滑紧黎曼流形。给定 $p_0 \in M$，$\lambda \in \mathcal{R}$ 以及 $\sigma \in (0,2]$，我们研究以下商式的极小化子的存在性与不存在性：\begin{equation}\label{Paper Equation}\mu_{\lambda,\sigma}=\inf_{u \in H^1(M)\setminus \lbrace0\rbrace} \frac{\displaystyle\int_M |\nabla u|^2 dv_g -\lambda \int_M u^2 dv_g }{\biggl(\displaystyle\int_M \rho^{-\sigma} |u|^{2^*(\sigma)} dv_g\biggl)^{2/2^*(\sigma)}},\end{equation}其中 $\rho(.):=dist(p_0,.)$ 表示从 $p \in M$ 到 $p_0$ 的测地距离。特别地，当 $\sigma=2$ 时，我们给出了极小化子存在性关于 $\lambda$ 的充分必要条件。对于 $\sigma\in (0,2)$，我们在数量曲率夹逼条件下证明了极小化子的存在性。