关于最大距离极小化器的马蹄猜想

我们研究集合 $\Sigma$ 的性质，这些集合在满足对于给定紧集 $M \subset \mathbb{R}^2$ 和某给定 $r > 0$ 的不等式 $\mbox{max}_{y \in M} \mbox{dist}(y,\Sigma) \leq r$ 的闭连通集类 $\Sigma \subset \mathbb{R}^2$ 中具有最小长度（一维Hausdorff测度）。此类集合可视为能到达距 $M$ 每点至多 $r$ 的最短可能管道，此时 $M$ 被视为管道的顾客集。我们证明了Miranda、Paolini和Stepanov关于当 $M$ 为半径 $R>0$ 的圆周时极小化器集合的猜想，适用于 $r < R/4.98$ 的情形。此外，我们表明当 $M$ 为具有最小曲率半径 $R$ 的光滑凸集边界时，每个极小化器 $\Sigma$ 在 $r < R/5$ 时具有类似结构。另外，我们证明了关于局部极小化器的类似陈述。