关于最大距离极小化子的正则性

我们研究集合 $\Sigma$ 的性质，这些集合是最大距离极小化子问题的解，即在满足不等式 $\max_{y \in M} dist(y,\Sigma) \leq r$ 的闭连通集 $\Sigma \subset \mathbb{R}^2$ 类中，对于给定的紧集 $M \subset \mathbb{R}^2$ 和某个给定的 $r > 0$，具有最小长度（一维 Hausdorff 测度）的集合。此类集合可视为到达每位客户（来自客户集 $M$）的距离至多为 $r$ 的最短辐射电缆网络。本文证明了每个最大距离极小化子都是有限多条简单曲线的并集，且在每点处具有单侧切线。此外，在最大距离极小化子的每一点处，这些射线之间的夹角大于或等于 $2\pi/3$。这表明，即使对于一个“坏的”紧集 $M$，最大距离极小化子也与有限 Steiner 树同痕，这使其区别于 Steiner 问题的解（存在一个具有无限多分支点的 Steiner 树的例子）。我们还对极小化子在 $\Sigma$ 任意点邻域内的行为进行了分类。事实上，所有结果都是针对更一般的局部极小化子类证明的，即在其任意点邻域内均为最优的集合。