平面凸闭光滑曲线的最大距离泛函极小元研究

固定紧集 $M \subset \mathbb{R}^2$ 与 $r>0$。最大距离泛函的极小元是长度最小的连通集 $\Sigma$，使得 $$max_{y \in M} dist(y,\Sigma) \leq r.$$ 寻找最大距离极小元的问题与Steiner树问题相关。本文考虑凸闭曲线 $M$ 的情形，其最小曲率半径大于 $r$（这意味着 $M$ 是光滑的）。第一部分致力于 $\Sigma$ 的结构性结论：我们证明 $B_r(M) \cap \Sigma$ 的任意连通分支的闭包是连接至多五个顶点的局部Steiner树。第二部分我们“在图中推导”。假设 $y \in M$ 的左右邻域包含于 $\Sigma$ 中不同点 $x_1$、$x_2$ 的 $r$-邻域内。在沿 $M$ 移动 $y$ 的假设下，我们写出 $\Sigma$ 在 $x_1$ 与 $x_2$ 邻域内性态的条件。