欧氏空间中最大距离极小化子的正则性

我们研究作为最大距离极小化问题解的集 $\Sigma$ 的性质，即在一类闭连通集 $\Sigma \subset \mathbb{R}^n$ 中具有最小长度（一维 Hausdorff 测度）且满足不等式 $$max_{y \in M} dist(y,\Sigma) \leq r$$ 的集，其中给定紧集 $M \subset \mathbb{R}^n$ 与某给定 $r > 0$。此类集可被视为辐射状 Wi-Fi 线缆的最短网络，使每位客户（对应客户集 $M$）在至多距离 $r$ 内接入。本文证明任意最大距离极小化子 $\Sigma \subset \mathbb{R}^n$ 在每点至多具有 $3$ 条切射线，且同一点上任意两条切射线间夹角至少为 $2\pi/3$。此外，在平面情形（即 $n=2$）我们证明具有三条切射线的点数为有限，且每个最大距离极小化子是具单侧切向（自相应侧连续）的简单曲线的有限并。所有结果均对更一般的局部极小化子类（即在其任意点的邻域扰动下最优的集）证明。