$\R^n$ 中一类非光滑 $m$ 维集合的切点排斥势。第一部分：光滑化与自回避效应

我们考虑在 $\R^n$ 中一大类非光滑 $m$ 维集合 $\Sigma$ 上的排斥势能 $\E_q(\Sigma)$，其被积函数度量切点相互作用。能量 $\E_q(\Sigma)$ 的有限性对集合 $\Sigma$ 产生三类效应：拓扑效应，排除所有（先验可容许的）自相交类型；几何与测度论效应，提供 $\Sigma$ 到合适 $m$ 平面的巨大投影，从而在小球内直至一个一致受控的尺度上产生 $\Sigma$ 的巨大 $m$ 维豪斯多夫测度；最后，正则化效应，最终体现为莫里-索博列夫嵌入定理的一个几何变体：任何具有有限 $\E_q$ 能量的可容许集合 $\Sigma$，对于任意指数 $q>2m$，实际上是一个 $C^1$ 流形，其切平面以赫尔德连续方式变化，且具有最优赫尔德指数 $\mu=1-(2m)/q$。此外，局部 $C^{1,\mu}$ 图表示的贴片大小仅由能量值 $\E_q(\Sigma)$ 从下方一致控制。