非欧几里得弹性理论及其在细管上的几乎等距嵌入

我们考察长度为 $2L$ 的黎曼流形 $(\mathcal M, g)$ 中的一条测地线 $\gamma$ 周围半径为 $h$ 的细管 $\Omega^*_h$。我们研究从 $\Omega^*_h$ 映射到另一黎曼流形 $(\tilde {\mathcal M},\tilde g)$ 的弹性能量 $E_h(u)$。该能量 $E_h$ 基于微分 $du$ 距离于保持方向的线性映射集合的平方距离。我们证明了在 $h^{-4} E_h(u_h)$ 有界的序列 $u_h$ 上的紧性结果，并研究了 $h^{-4} E_h(u_h)$ 随 $h \to 0$ 相对于 $u_h$ 适当收敛性质（涉及径向方向的某些 blow-up）的 $\Gamma$-极限。该 $\Gamma$-收敛结果推广了 Mora 和 M"uller 关于欧几里得情形下细棒极限能量的工作。我们还得到极小能量的表达式，表述为拉回曲率张量在 $\gamma$ 与 $u \circ \gamma$ 之间的差异的特定二次函数，从而解答了 Maor 和 Shachar 在《J. Elasticity 134 (2019)，第 149--173 页》中提出的问题。