具有不相容预应变的薄板

我们研究具有不相容预应变的薄板的有效弹性行为，其中预应变与厚度无关且沿厚度方向均匀。我们将此类板建模为三维弹性体，其逐点无应力状态由具有上述性质的黎曼度量 $G$ 所刻画，并寻求厚度趋于零时的极限行为。我们的结果扩展了 M. Lewicka 与 M. R. Pakzad 在 ESAIM Control Optim. Calc. Var. 17 (2011), no. 4 中的先前分析。我们首先确立了 $\Gamma$-极限是 Kirchhoff 型弯曲。进一步，我们证明最小能量构型包含非平凡的 Kirchhoff 型弯曲——即三维能量的标度与板厚度的立方同阶——当且仅当 $G$ 的黎曼曲率 $R^3_{112}, R^3_{221}$ 和 $R_{1212}$ 不全恒为零。我们通过例子证明存在一种新的状态，其中 $G$ 的上述三个曲率消失（而板的中平面可以是平的也可以不是），但极限构型的能量仍与 Föppl-von Kármán 板的能量同阶。最后，我们将这些结果应用于向列玻璃模型，包括对度量 $G=\mbox{Id}_3 +\gamma\vec n\otimes \vec n$ 在给定非均匀单位指向矢场分布 $\vec n\in\mathbb{R}^3$ 时可浸入的条件进行刻画。