黎曼度量的定量可浸没性与预应变壳模型的无穷层级

本文关注预应变材料的变分描述，背景为薄膜$\Omega^h=\omega\times (-\frac{h}{2}, \frac{h}{2})$的降维。给定$\Omega^1$上的黎曼度量$G$，我们研究在所有弱正则浸没上，给定浸没不是$G_{\mid \Omega^h}$在$\Omega^h$上保向等距浸没的平均逐点亏缺之下确界为何。该亏缺由非欧能量$\mathcal{E}^h$度量，可视为经典非线性三维弹性的修正。基于我们之前的结果，我们完成了对所有$n\geq 1$的$\mathcal{E}^h$的标度分析以及缩放能量$h^{-2n}\mathcal{E}^h$的$\Gamma$-极限推导。我们展示了能量量子化，即$h$的偶次幂$2n$确为唯一可能的幂次（且全部都能取到）。对每个$n$，我们根据$G$相应阶黎曼曲率的消失以及匹配等距展开的成立，给出了对应标度有效的等价条件。我们还建立了最小化浸没当$h\to 0$时的渐近行为。