具有横向变化预应变的薄膜降维：振荡与非振荡情形

我们研究描述预应力薄膜的非欧（不相容）弹性能量泛函，在其奇异极限（$\Gamma$-极限）下，当薄膜厚度 $h$ 满足 $h\to 0$ 时。首先，我们将先前结果 [Lewicka-Pakzad, Bhattacharya-Lewicka-Schaffner, Lewicka-Raoult-Ricciotti] 推广到依赖于中面板与横向变量的任意不相容度量（即“非振荡”情形）。其次，我们分析更广义的一类不相容性，其中低阶项的横向依赖未必是线性的（“振荡”情形），将 [Agostiniani-Lucic-Lucantonio, Schmidt] 的结果推广到任意度量与高阶标度。我们通过适当曲率形式在多项式张量空间上的投影揭示两种情形间的联系。我们还展示了以 $h$ 的幂次为标度的有效能量量子化，并讨论了一般情形下的 $h^2$（Kirchhoff）、$h^4$（von K\'arm\'an）标度机制，以及共形度量下所有可能的（偶次幂）机制，从而为后续 [Lewicka] 中非振荡情形的完整分析铺平道路。第三，我们证明了 $h^2$ 与 $h^4$ 标度阶奇异极限的强制性不等式，同时否定了经典 von K\'arm\'an 能量泛函在 $h^4$ 标度下的完全强制性。