具有高阶不兼容预应变的板

我们研究了不兼容预应变薄板的有效弹性行为，其特征由参考构型上的黎曼度量 $G$ 刻画。我们假设预应变是“弱”的，即它诱导的不兼容弹性能量 $E^h$ 的缩放阶数小于板厚度 $h$ 的 $h^2$。我们主要证明了两个结果。首先，我们建立了缩放能量 $h^{-4}E^h$ 的 $\Gamma$-极限，并表明它由一种 von K\'arm\'an 型能量组成，该能量用一阶无穷小等距映射和将 $G_{2\times 2}$（即中面处的预应变度量）等距浸入 $\mathbb{R}^3$ 的容许应变来表示。其次，我们证明在缩放机制 $E^h\sim h^\beta$（其中 $\beta>2$）下，不存在其他极限理论：如果 $\inf h^{-2} E^h \to 0$，则 $\inf E^h\leq Ch^4$；如果 $\inf h^{-4}E^h\to 0$，则 $G$ 是可实现的，因此对于每个 $h$ 都有 $\min E^h = 0$。