降维板、壳和杆理论的黎曼方法

我们推导了一个沿 $k$ 个维度细长的 $n$ 维非线性弹性体的降维极限理论。出发点是将其视为一个 $n$ 维黎曼流形，连同其在 $n$ 维欧几里得空间中的一个不必等距的 $W^{1,2}$-浸入。平衡构型是使诱导度规与内禀度规之间的平均偏差最小化的浸入。降维极限理论将该弹性体视为一个 $k$ 维黎曼流形，连同其在 $n$ 维欧几里得空间中的一个等距 $W^{2,2}$-浸入以及法向方向上的线性数据。平衡构型最小化一个依赖于线性数据平均协变导数的泛函。降维极限是通过 $\Gamma$-收敛方法获得的。该极限理论包含了板、壳和杆理论作为特例。它同样适用于“标准”弹性力学和“不相容”弹性力学，从而将所谓的非欧几里得板、壳和杆理论作为特例包含在内。