最小化长度和曲率的平面曲线的存在性

在本文中，我们考虑通过最小化同时依赖于长度和曲率$K$的泛函$\int \sqrt{1+K_\gamma^2} ds$来重建部分隐藏或损坏的曲线的问题。我们固定起点和终点以及初始和最终方向。对于这个泛函，我们讨论了在各种函数空间上极小元的存在性问题。我们发现，在考虑初始和最终方向（带方向）的情况下，极小元不存在。在这种情况下，极小化序列的轨迹可以收敛到带有角点的曲线。相反，我们证明了对于“时间重参数化”泛函$$\int \| \dot\gamma(t) \|\sqrt{1+K_\ga^2} dt$$，在所有边界条件下，如果初始和最终方向不考虑方向性，则极小元存在。在这种情况下，极小元可以呈现尖点（最多两个），但不能有角点。