基于次黎曼几何的无尖点曲线重建

我们考虑在固定初始和最终位置及方向的平面曲线中，最小化 $\int_{0}^L \sqrt{\xi^2 +K^2(s)}\, ds$ 的问题。总长度 $L$ 是自由的。这里 $s$ 是弧长参数化变量，$K(s)$ 是曲线的曲率，$\xi>0$ 是一个参数。此问题源于 Petitot、Citti 和 Sarti 的视觉几何模型。我们研究了该问题局部和全局极小值的存在性。我们证明，如果对于特定的边界条件选择不存在全局极小值，那么既不存在局部极小值，也不存在测地线。最后，我们给出了存在该问题解的边界条件集合的性质。