具有二次代价的 $S^2$ 上投影 Reeds-Shepp 车问题

固定 $S^2$ 上的两点 $x,\bar{x}$ 及这两点处速度方向（无取向）$\eta,\bar\eta$。本文研究在所有从 $x$ 出发且方向为 $\eta$、终止于 $\bar{x}$ 且方向为 $\bar\eta$ 的光滑曲线中，最小化代价 $$J[\gamma]=\int_0^T g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))+ K^2_{\gamma(t)}g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)) ~dt$$ 的问题。其中 $g$ 是 $S^2$ 上的标准黎曼度量，$K_\gamma$ 是对应的测地曲率。该问题的研究动机源于力学与视觉几何。该问题可表述为透镜空间 L(4,1) 上的次黎曼问题。我们计算了该问题的全局解：一个有趣的特征是某些最优测地线呈现尖点。割迹具有非平凡拓扑的分层结构。