二维和三维 Reeds-Shepp 汽车变体的最优路径及其在图像分析中的应用

我们提出了一种基于偏微分方程的方法，用于寻找 Reeds-Shepp 汽车的最优路径。在我们的模型中，我们最小化一个（数据驱动的）泛函，该泛函同时涉及曲率和长度惩罚，并包含多种推广。我们的方法涵盖了该模型的二维和三维变体、状态依赖代价，以及移除车辆倒车挡的可能性。我们证明了模型的全局和局部可控性结果。通过流形 $\mathbb{R}^d \times \mathbb{S}^{d-1}$ 上的程函方程，我们计算了相对于高度各向异性的 Finsler 度量的距离图，这些度量近似了模型底层的奇异（准）距离。这是通过基于 Mirebeau 工作的快速行进（FM）方法实现的。该 FM 方法基于特定的离散化模板，这些模板适应于 Finsler 度量的优先方向并满足广义锐性性质。最短路径可以通过距离图上的梯度下降法找到，我们在一则定理中对此进行了形式化。我们通过证明收敛性结果来论证使用近似度量的合理性。我们在 $\mathbb{R}^{d} \times \mathbb{S}^{d-1}$ 中具有数据驱动代价的曲线优化模型，允许从医学图像中提取复杂的管状结构，例如交叉结构，以及由于遮挡或低对比度造成的不完整数据。我们的工作将 Sanguinetti 等人关于数值次黎曼程函方程和 Reeds-Shepp 汽车的结果扩展到三维，并与 Duits 等人的精确解进行了比较。数值实验展示了我们的方法在两个应用中的巨大潜力：$d=2$ 情况下视网膜图像中的血管追踪，以及 $d=3$ 情况下基于扩散加权 MRI 数据的脑连接度量，扩展了 Bekkers 等人的工作。我们展示了没有倒车挡的新模型如何更好地处理分叉。