二次最短路径问题的特殊情形

二次最短路径问题（QSPP）是在一个有向图中寻找一条具有预先指定的起点 $s$ 和终点 $t$ 的路径，使得弧的权重之和与路径上所有弧对之间的交互成本之和最小化的问题。我们首先考虑 QSPP 的一个变体，称为相邻 QSPP。最近已证明，除非 P=NP，否则循环有向图上的相邻 QSPP 无法被近似。在此，我们给出同一结果的一个简单证明。我们还证明，如果二次成本矩阵是一个对称弱和矩阵，并且所有 $s$-$t$ 路径具有相同的长度，那么 QSPP 的最优解可以通过求解相应的最短路径问题实例获得。类似地，证明了具有对称积成本矩阵的 QSPP 可在多项式时间内求解。此外，我们为具有四个顶点的完全对称有向图上的 QSPP 实例提供了可线性化的充分必要条件。我们还刻画了具有多于四个顶点的完全对称有向图上可线性化的 QSPP 实例。最后，我们推导了一个算法，用于检查有向网格图 $G_{pq}$（$p,q\geq 2$）上的 QSPP 实例是否可线性化。该算法的复杂度为 ${\mathcal{O}(p^{3}q^{2}+p^{2}q^{3})}$。