广义临界Hardy不等式的极值函数

本文中，我们证明了以下极小化问题极小元存在与不存在性，其中包含Horiuchi与Kumlin于2012年提及的一个公开问题：\begin{align*} G_a := \inf_{u \in W_0^{1,N}(\Omega ) \setminus \{ 0\} } \dfrac{\int_{\Omega} |\nabla u |^{N} \,dx}{\left( \int_{\Omega} |u|^{q} f_{a,\beta}(x) dx \right)^{\frac{N}{q}}}, \,\text{其中} \,\,f_{a, \beta}(x):=|x|^{-N}\left( \log \frac{aR}{|x|} \right)^{-\beta}. \end{align*} 首先，当$\Omega =B_R(0)$时我们给出该公开问题的解答。其次，我们研究一般有界域上的极小化问题。此时结果依赖于域$\Omega$的形状。最后，证明了极小元在充分大$\beta$下的对称性破缺性质。