一个与合作系统相关的带自由边界的极小化问题

我们研究泛函 $\int_{\Omega}\bigl( \vert \nabla \mathbf{u} \vert^{2} + Q^{2}\chi_{\{\vert \mathbf{u}\vert>0\}} \bigr)dx$ 在约束条件 $u_i\geq 0$（$i=1,\cdots,m$）下的极小值问题，其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ 是一个有界区域，且 $\mathbf{u}=(u_1,\cdots,u_m)\in H^{1}(\Omega;\mathbb{R}^{m})$。利用一系列技术工具，特别是对自由边界的几何分析，我们将该问题归结为其标量对应问题，从而得出与标量问题类似的结果。这也可被视为本文最新颖的部分，可能推动系统自由边界正则性的进一步发展。