半线性向量值极小化问题的自由边界正则性

本文考虑以下半线性向量值极小化问题 $$\min\left\{\int_{D}({|\nabla\mathbf{u}|}^2 + F(|\mathbf{u}|))dx: \ \ \mathbf{u}\in W^{1,2}(D; \mathbb{R}^m) \ \text{and} \ \mathbf{u}=\mathbf{g}\ \text{on} \ \partial D\right\},$$ 其中 $\mathbf{u}: D\to \mathbb{R}^m$ ($m\geq 1$) 是向量值函数，$D\subset \mathbb{R}^n$ ($n\geq 2$) 是有界 Lipschitz 区域，$\mathbf{g}\in W^{1,2}(D; \mathbb{R}^m)$ 是给定的向量值函数，$F:[0, \infty)\rightarrow \mathbb{R}$ 是给定函数。该极小化问题对应以下半线性椭圆系统 \begin{equation*} \Delta\mathbf{u}=\frac{1}{2}F'(|\mathbf{u}|)\cdot\frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|}\chi_{\{|\mathbf{u}|>0\}}, \end{equation*} 其中 $\chi_A$ 表示集合 $A$ 的特征函数。$F'\equiv 2$ 的线性情形已由 Andersson、Shahgholian、Uraltseva 和 Weiss [Adv. Math 280, 2015] 在此前的工作中研究，其中 epiperimetric 不等式在导出能量衰减估计和 blow-up 极限的唯一性中起到了关键作用。然而，由于更一般的非退化且非齐次项 $F$ 导致 Weiss 边界调整能量不具有标度性质，该 epiperimetric 不等式不能直接应用于我们的情形。受线性情形启发，当 $F$ 满足某些假设时，我们成功建立了一个新的 epiperimetric 不等式，它可以处理 Weiss 边界调整能量中不具备标度不变性的项。作为该新 epiperimetric 不等式的应用，我们得出自由边界 $D\cap \partial\{|\mathbf{u}|>0\}$ 在正则点附近是局部 $C^{1,\beta}$ 曲面，其中 $\beta\in (0,1)$。