Orlicz 空间中具有自由边界与次临界增长的极小问题

本文旨在研究异质优化问题 \begin{align*} \mathcal {J}(u)=\int_{\Omega}(G(|\nabla u|)+qF(u^+)+hu+\lambda_{+}\chi_{\{u>0\}} )\text{d}x\rightarrow\text{min}, \end{align*} 在函数为 $W^{1,G}(\Omega)$ 且 $u-\varphi\in W^{1,G}_{0}(\Omega)$ 的类中，对给定函数 $\varphi$ 成立，其中 $W^{1,G}(\Omega)$ 是满足 $\int_{\Omega}G(|\nabla u|)\text{d}x<\infty$ 的弱可微函数类。函数 $G$ 和 $F$ 满足 Lieberman 型结构条件，允许在 $0$ 和 $\infty$ 处具有不同性态。此外，$F$ 允许次临界增长。给定函数 $q,h$ 和常数 $\lambda_+\geq 0$，我们给出 $\mathcal {J}(u)$ 极小元的若干正则性结果，包括当 $\lambda_+=0$ 时极小元的局部 $C^{1,\alpha}$ 连续性，以及当 $\lambda_+\geq 0$ 时极小元的局部 Log-Lipschitz 连续性。我们还分别建立了 $\mathcal {J}(u)$ 的每个非负极小元在 $\lambda_+=0$ 和 $\lambda_+>0$ 时靠近自由边界的增长率。进一步，在附加假设 $F\in C^1([0,+\infty); [0,+\infty))$ 下，对 $\mathcal {J}(u)$ 的 $\lambda_{+}>0$ 非负极小元给出了局部 Lipschitz 正则性。